3.23 \(\int \text{csch}^3(c+d x) (a+b \text{sech}^2(c+d x))^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=144 \[ -\frac{b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right ) \text{sech}^3(c+d x)}{6 d}-\frac{b^2 (5 a+7 b) \text{sech}^5(c+d x)}{10 d}-\frac{(a+b)^2 (a+7 b) \text{sech}(c+d x)}{2 d}+\frac{(a+b)^2 (a+7 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 d}-\frac{(a+b) \text{csch}^2(c+d x) \text{sech}^5(c+d x) \left (a \cosh ^2(c+d x)+b\right )^2}{2 d} \]

[Out]

((a + b)^2*(a + 7*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - ((a + b)^2*(a + 7*b)*Sech[c + d*x])/(2*d) - (b*(6*a^2 + 1
5*a*b + 7*b^2)*Sech[c + d*x]^3)/(6*d) - (b^2*(5*a + 7*b)*Sech[c + d*x]^5)/(10*d) - ((a + b)*(b + a*Cosh[c + d*
x]^2)^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^5)/(2*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.178248, antiderivative size = 144, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.174, Rules used = {4133, 468, 570, 207} \[ -\frac{b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right ) \text{sech}^3(c+d x)}{6 d}-\frac{b^2 (5 a+7 b) \text{sech}^5(c+d x)}{10 d}-\frac{(a+b)^2 (a+7 b) \text{sech}(c+d x)}{2 d}+\frac{(a+b)^2 (a+7 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 d}-\frac{(a+b) \text{csch}^2(c+d x) \text{sech}^5(c+d x) \left (a \cosh ^2(c+d x)+b\right )^2}{2 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((a + b)^2*(a + 7*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - ((a + b)^2*(a + 7*b)*Sech[c + d*x])/(2*d) - (b*(6*a^2 + 1
5*a*b + 7*b^2)*Sech[c + d*x]^3)/(6*d) - (b^2*(5*a + 7*b)*Sech[c + d*x]^5)/(10*d) - ((a + b)*(b + a*Cosh[c + d*
x]^2)^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^5)/(2*d)

Rule 4133

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[ff/f, Subst[Int[((1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(b + a*(ff*x)^n)^p)/(ff*x)^(n*
p), x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n] && IntegerQ[p
]

Rule 468

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[((c*b -
a*d)*(e*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1))/(a*b*e*n*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*b*n*(p + 1)), I
nt[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 2)*Simp[c*(c*b*n*(p + 1) + (c*b - a*d)*(m + 1)) + d*(c*b*n*(p
+ 1) + (c*b - a*d)*(m + n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 570

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^
(r_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, f, g, m, n}, x] && IGtQ[p, -2] && IGtQ[q, 0] && IGtQ[r, 0]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \text{csch}^3(c+d x) \left (a+b \text{sech}^2(c+d x)\right )^3 \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (b+a x^2\right )^3}{x^6 \left (1-x^2\right )^2} \, dx,x,\cosh (c+d x)\right )}{d}\\ &=-\frac{(a+b) \left (b+a \cosh ^2(c+d x)\right )^2 \text{csch}^2(c+d x) \text{sech}^5(c+d x)}{2 d}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (b+a x^2\right ) \left (b (5 a+7 b)+a (a+3 b) x^2\right )}{x^6 \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\cosh (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=-\frac{(a+b) \left (b+a \cosh ^2(c+d x)\right )^2 \text{csch}^2(c+d x) \text{sech}^5(c+d x)}{2 d}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{b^2 (5 a+7 b)}{x^6}+\frac{b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right )}{x^4}+\frac{(a+b)^2 (a+7 b)}{x^2}-\frac{(a+b)^2 (a+7 b)}{-1+x^2}\right ) \, dx,x,\cosh (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=-\frac{(a+b)^2 (a+7 b) \text{sech}(c+d x)}{2 d}-\frac{b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right ) \text{sech}^3(c+d x)}{6 d}-\frac{b^2 (5 a+7 b) \text{sech}^5(c+d x)}{10 d}-\frac{(a+b) \left (b+a \cosh ^2(c+d x)\right )^2 \text{csch}^2(c+d x) \text{sech}^5(c+d x)}{2 d}-\frac{\left ((a+b)^2 (a+7 b)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+x^2} \, dx,x,\cosh (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=\frac{(a+b)^2 (a+7 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 d}-\frac{(a+b)^2 (a+7 b) \text{sech}(c+d x)}{2 d}-\frac{b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right ) \text{sech}^3(c+d x)}{6 d}-\frac{b^2 (5 a+7 b) \text{sech}^5(c+d x)}{10 d}-\frac{(a+b) \left (b+a \cosh ^2(c+d x)\right )^2 \text{csch}^2(c+d x) \text{sech}^5(c+d x)}{2 d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 3.73439, size = 224, normalized size = 1.56 \[ -\frac{\text{sech}^6(c+d x) \left (a \cosh ^2(c+d x)+b\right )^3 \left (\frac{3}{4} \left (195 a^2 b+75 a^3+165 a b^2+77 b^3\right ) \sinh (4 (c+d x)) \text{csch}^3(c+d x)+\coth (c+d x) \text{csch}(c+d x) \left (10 \left (45 a^2 b+9 a^3+75 a b^2+35 b^3\right ) \cosh (4 (c+d x))+270 a^2 b+150 a^3-30 a b^2+15 (a+b)^2 (a+7 b) \cosh (6 (c+d x))-206 b^3\right )-480 (a+b)^2 (a+7 b) \cosh ^6(c+d x) \left (\log \left (\cosh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )-\log \left (\sinh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )\right )\right )}{120 d (a \cosh (2 (c+d x))+a+2 b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

-((b + a*Cosh[c + d*x]^2)^3*Sech[c + d*x]^6*((150*a^3 + 270*a^2*b - 30*a*b^2 - 206*b^3 + 10*(9*a^3 + 45*a^2*b
+ 75*a*b^2 + 35*b^3)*Cosh[4*(c + d*x)] + 15*(a + b)^2*(a + 7*b)*Cosh[6*(c + d*x)])*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]
- 480*(a + b)^2*(a + 7*b)*Cosh[c + d*x]^6*(Log[Cosh[(c + d*x)/2]] - Log[Sinh[(c + d*x)/2]]) + (3*(75*a^3 + 19
5*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*Csch[c + d*x]^3*Sinh[4*(c + d*x)])/4))/(120*d*(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)])^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.05, size = 192, normalized size = 1.3 \begin{align*}{\frac{1}{d} \left ({a}^{3} \left ( -{\frac{{\rm csch} \left (dx+c\right ){\rm coth} \left (dx+c\right )}{2}}+{\it Artanh} \left ({{\rm e}^{dx+c}} \right ) \right ) +3\,{a}^{2}b \left ( -1/2\,{\frac{1}{ \left ( \sinh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}\cosh \left ( dx+c \right ) }}-3/2\, \left ( \cosh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{-1}+3\,{\it Artanh} \left ({{\rm e}^{dx+c}} \right ) \right ) +3\,a{b}^{2} \left ( -1/2\,{\frac{1}{ \left ( \sinh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \left ( \cosh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{3}}}-5/6\, \left ( \cosh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{-3}-5/2\, \left ( \cosh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{-1}+5\,{\it Artanh} \left ({{\rm e}^{dx+c}} \right ) \right ) +{b}^{3} \left ( -{\frac{1}{2\, \left ( \sinh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2} \left ( \cosh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{5}}}-{\frac{7}{10\, \left ( \cosh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{5}}}-{\frac{7}{6\, \left ( \cosh \left ( dx+c \right ) \right ) ^{3}}}-{\frac{7}{2\,\cosh \left ( dx+c \right ) }}+7\,{\it Artanh} \left ({{\rm e}^{dx+c}} \right ) \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csch(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

1/d*(a^3*(-1/2*csch(d*x+c)*coth(d*x+c)+arctanh(exp(d*x+c)))+3*a^2*b*(-1/2/sinh(d*x+c)^2/cosh(d*x+c)-3/2/cosh(d
*x+c)+3*arctanh(exp(d*x+c)))+3*a*b^2*(-1/2/sinh(d*x+c)^2/cosh(d*x+c)^3-5/6/cosh(d*x+c)^3-5/2/cosh(d*x+c)+5*arc
tanh(exp(d*x+c)))+b^3*(-1/2/sinh(d*x+c)^2/cosh(d*x+c)^5-7/10/cosh(d*x+c)^5-7/6/cosh(d*x+c)^3-7/2/cosh(d*x+c)+7
*arctanh(exp(d*x+c))))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.06963, size = 751, normalized size = 5.22 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/30*b^3*(105*log(e^(-d*x - c) + 1)/d - 105*log(e^(-d*x - c) - 1)/d - 2*(105*e^(-d*x - c) + 350*e^(-3*d*x - 3*
c) + 231*e^(-5*d*x - 5*c) - 412*e^(-7*d*x - 7*c) + 231*e^(-9*d*x - 9*c) + 350*e^(-11*d*x - 11*c) + 105*e^(-13*
d*x - 13*c))/(d*(3*e^(-2*d*x - 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) - 5*e^(-6*d*x - 6*c) - 5*e^(-8*d*x - 8*c) + e^(-10*d*x
- 10*c) + 3*e^(-12*d*x - 12*c) + e^(-14*d*x - 14*c) + 1))) + 1/2*a*b^2*(15*log(e^(-d*x - c) + 1)/d - 15*log(e^
(-d*x - c) - 1)/d - 2*(15*e^(-d*x - c) + 20*e^(-3*d*x - 3*c) - 22*e^(-5*d*x - 5*c) + 20*e^(-7*d*x - 7*c) + 15*
e^(-9*d*x - 9*c))/(d*(e^(-2*d*x - 2*c) - 2*e^(-4*d*x - 4*c) - 2*e^(-6*d*x - 6*c) + e^(-8*d*x - 8*c) + e^(-10*d
*x - 10*c) + 1))) + 3/2*a^2*b*(3*log(e^(-d*x - c) + 1)/d - 3*log(e^(-d*x - c) - 1)/d + 2*(3*e^(-d*x - c) - 2*e
^(-3*d*x - 3*c) + 3*e^(-5*d*x - 5*c))/(d*(e^(-2*d*x - 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) - e^(-6*d*x - 6*c) - 1))) + 1/2*
a^3*(log(e^(-d*x - c) + 1)/d - log(e^(-d*x - c) - 1)/d + 2*(e^(-d*x - c) + e^(-3*d*x - 3*c))/(d*(2*e^(-2*d*x -
2*c) - e^(-4*d*x - 4*c) - 1)))

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.63043, size = 17022, normalized size = 118.21 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/30*(30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 390*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*
x + c)*sinh(d*x + c)^12 + 30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*sinh(d*x + c)^13 + 20*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a
*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 20*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3 + 117*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7
*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^11 + 220*(39*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (9*a^3
+ 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^10 + 6*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*
cosh(d*x + c)^9 + 2*(10725*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 225*a^3 + 585*a^2*b + 495*a*b^
2 + 231*b^3 + 550*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^9 + 6*(6435*(a^3 + 9*a
^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 550*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 9*(75*
a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^8 + 8*(75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*
b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 8*(6435*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 825*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75
*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3 + 27*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^
2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^7 + 8*(6435*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 11
55*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 63*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(
d*x + c)^3 + 7*(75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^6 + 6*(75*a^3 + 195*a^2*
b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 6*(6435*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 1540*(9
*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 126*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x
+ c)^4 + 75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3 + 28*(75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^
2)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(10725*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 3300*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75
*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 378*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 140*(75*a^3
+ 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 15*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c
))*sinh(d*x + c)^4 + 20*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(2145*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a
*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 825*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 126*(75*a^3 + 19
5*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 70*(75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^4 +
45*a^3 + 225*a^2*b + 375*a*b^2 + 175*b^3 + 15*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh
(d*x + c)^3 + 4*(585*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 275*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 +
35*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 54*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 42*(75*a^3 + 135*a^2*
b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 15*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 15*(9
*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*co
sh(d*x + c) - 15*((a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 14*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*
cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^13 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*sinh(d*x + c)^14 + 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a
*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + (3*a^3 + 27*a^2*b + 45*a*b^2 + 21*b^3 + 91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)
*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 4*(91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 9*(a^3 + 9*a^2
*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 +
(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3 + 198*(a^3 + 9*a^
2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 2*(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*
x + c)^5 + 330*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(
d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + (3003*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a
*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 1485*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 5*a^3 - 45*a^2*b - 7
5*a*b^2 - 35*b^3 + 45*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(429*(a^3 + 9*a^
2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 297*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 15*(a^3 + 9
*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)
^7 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + (3003*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x
+ c)^8 + 2772*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 210*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh
(d*x + c)^4 - 5*a^3 - 45*a^2*b - 75*a*b^2 - 35*b^3 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*s
inh(d*x + c)^6 + 2*(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 1188*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 +
7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 126*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b
^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + (a^3 + 9*
a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + (1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 1485*(
a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 210*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 3
50*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3 - 75*(a^3 + 9*a^2*b +
15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^1
1 + 165*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x +
c)^7 - 70*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 25*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x
+ c)^3 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3
+ 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2 + (91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^
12 + 198*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 45*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x
+ c)^8 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 75*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d
*x + c)^4 + 3*a^3 + 27*a^2*b + 45*a*b^2 + 21*b^3 + 6*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(
d*x + c)^2 + 2*(7*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 18*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*
cosh(d*x + c)^11 + 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 - 20*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3
)*cosh(d*x + c)^7 - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^
3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*log(cosh(d*x + c) + si
nh(d*x + c) + 1) + 15*((a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 14*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*
b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^13 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*sinh(d*x + c)^14 + 3*(a^3 + 9*a^2*b +
15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + (3*a^3 + 27*a^2*b + 45*a*b^2 + 21*b^3 + 91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7
*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 4*(91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 9*(a^3 +
9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)
^10 + (1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3 + 198*(a^3 +
9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 2*(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*co
sh(d*x + c)^5 + 330*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*
cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + (3003*(a^3 + 9*a^2*b +
15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 1485*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 5*a^3 - 45*a^2*
b - 75*a*b^2 - 35*b^3 + 45*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(429*(a^3 +
9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 297*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 15*(a^
3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x
+ c)^7 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + (3003*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh
(d*x + c)^8 + 2772*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 210*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)
*cosh(d*x + c)^4 - 5*a^3 - 45*a^2*b - 75*a*b^2 - 35*b^3 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)
^2)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 1188*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*
b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 126*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 1
5*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + (a^3
+ 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + (1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 1
485*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 210*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^
6 - 350*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3 - 75*(a^3 + 9*a^
2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x +
c)^11 + 165*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d
*x + c)^7 - 70*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 25*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh
(d*x + c)^3 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7
*b^3 + 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2 + (91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x
+ c)^12 + 198*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 45*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh
(d*x + c)^8 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 75*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*c
osh(d*x + c)^4 + 3*a^3 + 27*a^2*b + 45*a*b^2 + 21*b^3 + 6*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*
sinh(d*x + c)^2 + 2*(7*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 18*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*
b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 - 20*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 +
7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 +
7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*log(cosh(d*x + c)
+ sinh(d*x + c) - 1) + 2*(195*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 110*(9*a^3 + 45*a^2*b + 7
5*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 27*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(75*a^3
+ 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c
)^4 + 15*a^3 + 135*a^2*b + 225*a*b^2 + 105*b^3 + 30*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*si
nh(d*x + c))/(d*cosh(d*x + c)^14 + 14*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^13 + d*sinh(d*x + c)^14 + 3*d*cosh(d*x + c
)^12 + (91*d*cosh(d*x + c)^2 + 3*d)*sinh(d*x + c)^12 + 4*(91*d*cosh(d*x + c)^3 + 9*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x +
c)^11 + d*cosh(d*x + c)^10 + (1001*d*cosh(d*x + c)^4 + 198*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^10 + 2*(1001*
d*cosh(d*x + c)^5 + 330*d*cosh(d*x + c)^3 + 5*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 - 5*d*cosh(d*x + c)^8 + (3003*d
*cosh(d*x + c)^6 + 1485*d*cosh(d*x + c)^4 + 45*d*cosh(d*x + c)^2 - 5*d)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(429*d*cosh(d*x +
c)^7 + 297*d*cosh(d*x + c)^5 + 15*d*cosh(d*x + c)^3 - 5*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 - 5*d*cosh(d*x + c)^6
+ (3003*d*cosh(d*x + c)^8 + 2772*d*cosh(d*x + c)^6 + 210*d*cosh(d*x + c)^4 - 140*d*cosh(d*x + c)^2 - 5*d)*sin
h(d*x + c)^6 + 2*(1001*d*cosh(d*x + c)^9 + 1188*d*cosh(d*x + c)^7 + 126*d*cosh(d*x + c)^5 - 140*d*cosh(d*x + c
)^3 - 15*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + d*cosh(d*x + c)^4 + (1001*d*cosh(d*x + c)^10 + 1485*d*cosh(d*x + c
)^8 + 210*d*cosh(d*x + c)^6 - 350*d*cosh(d*x + c)^4 - 75*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(91*d*cosh
(d*x + c)^11 + 165*d*cosh(d*x + c)^9 + 30*d*cosh(d*x + c)^7 - 70*d*cosh(d*x + c)^5 - 25*d*cosh(d*x + c)^3 + d*
cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c)^2 + (91*d*cosh(d*x + c)^12 + 198*d*cosh(d*x + c)^10 + 45*d*
cosh(d*x + c)^8 - 140*d*cosh(d*x + c)^6 - 75*d*cosh(d*x + c)^4 + 6*d*cosh(d*x + c)^2 + 3*d)*sinh(d*x + c)^2 +
2*(7*d*cosh(d*x + c)^13 + 18*d*cosh(d*x + c)^11 + 5*d*cosh(d*x + c)^9 - 20*d*cosh(d*x + c)^7 - 15*d*cosh(d*x +
c)^5 + 2*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + d)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (c + d x \right )}\right )^{3} \operatorname{csch}^{3}{\left (c + d x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)**3*(a+b*sech(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Integral((a + b*sech(c + d*x)**2)**3*csch(c + d*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.16802, size = 470, normalized size = 3.26 \begin{align*} \frac{{\left (a^{3} + 9 \, a^{2} b + 15 \, a b^{2} + 7 \, b^{3}\right )} \log \left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )} + 2\right )}{4 \, d} - \frac{{\left (a^{3} + 9 \, a^{2} b + 15 \, a b^{2} + 7 \, b^{3}\right )} \log \left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )} - 2\right )}{4 \, d} - \frac{a^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + 3 \, a^{2} b{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + 3 \, a b^{2}{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + b^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}}{{\left ({\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{2} - 4\right )} d} - \frac{2 \,{\left (45 \, a^{2} b{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{4} + 90 \, a b^{2}{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{4} + 45 \, b^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{4} + 60 \, a b^{2}{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{2} + 40 \, b^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{2} + 48 \, b^{3}\right )}}{15 \, d{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{5}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/4*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*log(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c) + 2)/d - 1/4*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 +
7*b^3)*log(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c) - 2)/d - (a^3*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c)) + 3*a^2*b*(e^(d*x + c) + e^(
-d*x - c)) + 3*a*b^2*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c)) + b^3*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c)))/(((e^(d*x + c) + e^(-d*x
- c))^2 - 4)*d) - 2/15*(45*a^2*b*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^4 + 90*a*b^2*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^4 + 4
5*b^3*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^4 + 60*a*b^2*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^2 + 40*b^3*(e^(d*x + c) + e^(-d*x
- c))^2 + 48*b^3)/(d*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^5)